TheBat не умеет напрямую искать на сервере, не загружая текст писем?

Если кратко, то: "Умеет".

поиск по серверу возможен во время активного соединения с сервером. В противном случае поиск будет только по локально закаченным письмам.

По сути не имеет встроенной функции поиска на сервере без загрузки текста писем. Однако можно использовать функцию поиска в локальной копии вашей почтовой базы данных.