Задача в последнее время приобрела какой-то массовый характер.

Есть еще вариант:

f(0) = 1
f(1) = 0
f(2) = 0
f(3) = 0
f(4) = 1
f(5) = 0
f(6) = 1

и т.д. до 11. И надо было сказать, чем равно f(34568123) ну или любого другого произвольного числа.

В первой формулировке, просто с числами, надо искать факторизации и смотреть, по какому это все модулю. В формулировке с f(x), наверное, нужно привлекать методы анализа и делать экстраполяцию, в ряд Фурье разлагать...