эйлеров путь - путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз.
Если он есть, то из каждой вершины (кроме, может быть, двух - начальной и конечной) должно выходить чётное число рёбер (если мы вошли в вершину, не являющуюся начальной или конечной, то мы должны из неё выйти - опа, рёбра разбились на пары). Но тут вершин нечётной степени больше.