У тебя должен быть веб-шелл. Это первое условие. Второе - знать db user, db password, server..
А варианта 2:
1) установить phpmyadmin (или можно не ставить, если он уже есть на сайте), найти нужную таблицу с сделать её дамп.
2) залить скрипт от rst (RST MySQL v2.0)
и с помощью этого скрипта сделать дамп.