DOM - Document Object Model. Объектная модель документа. DOM был разработан W3C как API для предстваление документа (HTML страницы) и доступа ко всем ее элементом. Будь то элемент формы или просто таблица. DOM это лишь стандарт, рекомендация от W3C. Примерно так же, как и HTML, CSS и прочие. Ни один браузер не поддерживает DOM полностью и в точности к спецификации от W3C (впрочем, как и CSS). Соответственно можно легко сказать о том, что в разных браузерах поддержка DOM разная. НО! DOM Level 1 был специфицирован аж в 98 году и на данный момент IE 6+ и другие браузеры худо-бедно его поддерживают достаточно полно. Грубо говоря, если вы работает с документом через DOM API Level 1 - огромная вероятность того что скрипт будет работать во всех браузерах одинаково. DOM Level 2 был специфицирован в 2000 году, он получил ряд изменений с прошлым и улучешений. Но IE 6+ его не поддерживает. Поэтому лучше даже не пускать слюну, читая спецификацию DOM Level 2, а наслождаться простой и брутальностью DOM Level 1.

Ну это так... общее представление. Весь интерфейс я раскладывать по полкам не стану да и это трудно в пределах одного поста. Что касается данного скрипта.

впринципе неверно. Получение доступа к элементу через DOM осуществляется по средствам объекта document. в DOM определены несколько способов доступа к объекстам документа. В данном случае к текстарии "text" формы "post" можно обратится следующими эквивалентными способами

Но никак не как у автора. Да, работать это может и работает, но это не по спецификации...