auth_key – это ключ, необходимый для авторизации пользователя на стороннем сервере.

параметр приходит, если в приложении включена система платежей (во вкладке Платежи при редактировании приложения).

auth_key вычисляется на сервере ВКонтакте следующим образом:
auth_key = md5(api_id + '_' + viewer_id + '_' + api_secret)