Вроде всё правдоподобно выглядит.
Хорошо,а есть возможность подключить напрямую,минуя роутер?
Было бы неплохо сначала так посмотреть,увидит ли Kali карту.
Если так всё заработает,то лучше сразу обновиться.И пробовать с роутером.
Если нет,то исключить вариант регистрации провайдером устройств по mac-адресу
Т.е,позвонить (а ещё лучше включить другое устр-во чтобы убедиться) и попросить,чтобы внесли и дали добро
(это нежелательно конечно,но и такое бывает).

Если дела настолько плохи,что и такой способ исключён,то вводим #lspci
Просматриваем всё оборудование таким образом.Нас интересует строки
Network controller и Ethernet controller.
Берём версию модуля и пробиваем на странице поддержки драйверов.

http://linuxwireless.org/en/users/Drivers/

Устанавливаем в случае удачных находок.
Пока не решится проблема с драйверами,поддержкой,все исчерпывающие себя дела с ними,
к другим способам прибегать только в крайних случаях.
Если и там неувязки ,то идём сюда
https://wiki.debian.org/wl
И пробуем ставить wl согласно инструкции.Затем #iwconfig - проверка появилось ли устройство.
Без сбоев мало у кого работает такой метод решения.На редкость очень отчаянный шаг,
и гарантий никаких что сработает.

Способ № 2 условием является,что беспроводной адаптер всё же поддерживается
в Linux на уровне драйвера.
Вводим # ifconfig -a - удостоверяемся что какие-то сетевые адаптеры есть.
Если действительно не видим то,что нам нужно,то догадка верна-нет драйверов,нет поддержки.
# ifconfig wlan0 up - пытаемся запустить беспроводной сетевой адаптер.
# iwlist wlan0 scan - сканируем пространство вокруг себя на наличие точки доступа.
Из всего вывода нас интересует строка ESSID:"Название_точки_доступа"
# iwconfig wlan0 essid Назв_точки_доступа key Wireless_Key - подключаемся к ней.
key - это ключ шифрования.В веб-морде роутера надо тоже проверить разрешение на подключение.
# dhclient wlan0 - получаем адрес от dhcp-сервера точки wifi.

Способ № 3 Условия те же.Но есть возможность выставить настройки роутера
на ключ wpa.
# apt-get install wpa_supplicant - скачиваем эту утилиту (если она не установлена)
# wpa_passphrase ssid password - сгенерируем пароль в 16-ричном формате.
Мы должны получить строку psk и потом вставить её в конфиг файла wpa_supplicant.conf:
# sudo nano -w
/etc/wpa_supplicant.conf
Network={
ssid=SSID
psk=PSK }
Добавляем в шапку этого файла для прав доступа строку:
ctrl_interface=DIR=/var/run/wpa_supplicant GROUP=wheel
Далее,вводим команды:
# ifconfig wlan0 up - стартуем интерфейс
# iwconfig wlan0 essid ssid - указываем точку подключения.
# wpa_supplicant -B -Dwext -i wlan0 -c /etc/wpa_supplicant.conf - коннектимся.
# dhclient wlan0 - получаем ip-адрес.

Способ № 4 Применяется в основном в работе с консолью.Шифрование wpa2.Обязательные условие-наличие утилиты wpa_supplicant.И у Вас уже прописан dhcp в конф.файле,либо дописать его туда вручную.
Похож на способ 3,поэтому пояснений давать не стану.
# ifconfig wlan0 up
# iwlist wlan0 scanning | grep -i essid
# wpa_passphrase Назв_точки_подключения 1234567890 > /etc/wpa_supplicant/wpa_supplicant.conf
# wpa_supplicant -D wext -i wlan0 -c /etc/wpa_supplicant/wpa_supplicant.conf -B
# dhclient wlan0
Надеюсь,что решится вопрос положительно.