Gmail очень много "кичились", что никогда и никому не предоставляют никаких логов (хотя они их точно ведут), даже, насколько помню, приводили статистику, согласно которой из "тонны" обращений из правоохранительных органов разных стран, они удовлетворили всего несколько "запросов", а остальным отказали.

По поводу любых почт, которые удаляют аккаунты клиентов через определенное время, или имеют функцию "самоуничтожения" писем - учтите, удаление письма из ящика вовсе не означает, что удаляются логи данного письма или удаленного пользователя. Логи о письме могут храниться в архивах существенно дольше, чем само письмо на почтовом ящике. Узнать же, действительно ли почты не ведут логов - крайне затруднительно. Поэтому использование любых почтовых сервисов с точки зрения обеспечения высокого уровня конфиденциальности и анонимности всегда сомнительно.
Как решение - воспользуйтесь услугами "дропов".