Лучше эмулировать не действия нажатия в браузере, а запросы к серверу, однако. Если это бинарный плагин, достать исходный код будет достаточно сложно, т.к. запросы могут отправляться в зашифрованном виде.

Попробуйте посмотреть, какие запросы передаются через WireShark и Chares(Настройте перехват SSL), почитайте о механизмах ЭЦП.

Если подпись запрашивается только один раз, то не проблема написать небольшой JS скрипт. Адрес сайта в студию.