скажем так, от роутера зависит многое, поймать постоянно меняющийся айпишник роутера ты сможешь через любой DDNS(Dynamic DNS) не путать с просто DNS.

У тебя будет что-то типа своего домена на роутере, правда если эту тему роутер поддерживает и ты хотябы имеешь внешний динамический айпишник.

Если внешний айпишник ещё и статический, в чём я очень сомневаюсь, тогда вообще халява.

Саму прокси настроить не сложно, проброс портов тоже потребуется, но опять же без доп-настройки сможешь пользоваться в основном только незашифрованными сетями.

потому посмотри в сторону VPN. Я врать не буду, им не пользовался, но подозреваю под твои задачи он лучше всего должен подойти.

поищи, вероятно в ветках уже кто-нибудь про это отписывался