чаты не пишут на html 5.0
Перенести домен проблем нет. Просто нужно купить свой сервер\хостинг и попросить привязать домен на ns твоего нового сервера.
На свой сервер поставь готовый веб чат, благо этого добра навалом. Вот и все.
Насчёт бесплатных чатов, которые предоставляют такую услугу, как работа с dns - не знаю. Но имхо, если чат посещаемый, то есть ли смысл обогащать кого-то другого? Нужно брать свой сервер и развивать СВОЙ проект.