Тоесть имя chat.ru будет только для удобства, если пользоваетль введет chat.ru вместо antichat.ru

Что такое "зеркало сайта"?

Зеркало — частичная или полная копия сайта. Наличие дубликатов ресурса бывает необходимо владельцам высокопосещаемых сайтов для повышения надежности и доступности их сервиса.

Мой сайт показывается в результатах поиска не под тем именем. Как это исправить?

Скорее всего, сайт имеет несколько зеркал, и робот выбрал как основное не то зеркало, которое хочется вам.

Решение: выложите на зеркалах robots.txt с директивой Host.

Кроме того, возможно:
удалить зеркала вашего сайта;
на всех зеркалах, кроме того, которое станет основным, разместить файл robots.txt, полностью запрещающий индексацию сайта.