Я так понимаю эти два сетевых адаптера подключены к одной сети? т.е ты с сетевух выводишь на свич, а потом со свича в локалку?(и зачем тебе такой гемор? )
Пустит на eth0, так как он инициализируется первым, потому и выступает как главный.
Но еще можешь поднять локальный dns c перенаправлением на нужный тебе ip

Кто первый в таблице ДНСА висит тот и будет пинговаться сначала

Но есть интересное "но"
Вставил 2 шнурка. Пинганул имя - пингуется та сетевуха которая была первой в таблице днса
Втакаю 2ой шнурок. Пингую по имени - не пингуется - по ИП конечно же пингуется

Т.е. пока не обновится таблица ДНС пинговаться на ИМЯ КОМПА будет тот ИП который был зареган в ДНСе первым

Чёта я тебя не понял... как так по имени не пингуется, а по IP пингуется.... что то я не понял.. Самое лучшее - Это пинговать с помощью команды не ping, а arp.. если я не ошибаюсь... В Linuxe она выглядит так: sudo arping -I eth0 и IP..... Эта команда пингует именно сетку, а не ПО на машине. А ping пингует ПО...