Я думаю тебе придётся использовать selenium как основу для этого скрипта, помочь не могу особо чем-то ибо в кнопках на сайте через питон я слаб. Может найдётся тут кто поможет.

Открой отладчик в браузере и на вкладке "сеть" смотри какие запросы отправляет твой браузер когда ты нажимаешь кнопку "войти".

И с помощью библиотеки requests сымитируй эти запросы, только подставь данные которые пришли из ТГ.



Если же на сайте используется JS, то питон тебе не поможет, лучше nodejs или же селениум(его можно поставить на сервер)